Rist- ja paralleelsirgete joonestamine

Rist- ja paralleelsirgete joonestamine on väga sageli kasutatav geomeetriline konstruktsioon. Peaaegu igas joonestustöös on vaja konstrueerida antud sirgele rist- ja/või paralleelsirget.
Näiteks kui võtame ülesandeks joonestada antud sirgele paralleelsirget, peame oskama joonestada nii rist- kui ka paralleelsirget joonlaudade abil. Ristsirget mööda mõõdame täpselt välja sirgete vahekauguse, teeme märkekriipsu ja joonestame sellest läbi paralleelsirge.

Rist- ja paralleelsirgeid saame manuaalselt täpselt joonestada, kasutades töövahendite komplektina kas:

kahte joonlauda (vähemalt üks neist kolmnurkjoonlaud),
sirklit ja joonlauda.

Lahendusnäidete illustratsioonidel on kasutusel ristkülik- ja kolmnurkjoonlaud. Järgneva kahe esimese näite varal selgitame antud sirgele paralleelsirgete konstrueerimist. Esimesel näitel on antud sirgeks horisontaalne sirge ja teisel näitel kaldsirge. Lahenduses on paralleelsirged joonestatud erinevate vahekaugustega gruppidena.

Peame meeles reeglit: kaugust sirgete vahel mõõdame mööda ristsirget.
Seepärast tuleb antud sirgele paralleelsirge joonestamist alustada alati ristsirge konstrueerimisest.

Harjutuste kaasategemisel valime ristsirgete asukohad antud sirgetel vabalt. Kui ristsirged täidavad vastuse konstrueerimisel vaid abistavat ülesannet, kasutame õrna joont, et töö valmides poleks neid vaja kustutada.

Lahendamispõhimõte:

(1) joonestame antud sirgele ristsirge,
(2) märgime ristsirgele paralleelsirgete vahekaugused märkekriipsudega,
(3) joonestame märkekriipsude asukohtadest antud sirgega paralleelsed sirged.

Tegevus ise on lihtne, kuid nõuab hoolikust, käeosavust ja täpsust. Joonlaudade õige paigutamine ja paigal hoidmine nõuab algajalt joonestajalt keskendumist ja tähelepanu. Kuid harjutamise tulemusel ei pea varsti enam mõtlemagi, kuidas joonlaudu kohale sättida. Tegevus muutub üsna kiiresti automaatseks.

Järgnevates näidetes näed erineva asetusega antud sirgetele paralleelsirgete joonestamise kahe joonlaua (ristkülik- ja kolmnurkjoonlaud) abil. (Proovi lahendada ka siis, kui asendad ristkülikjoonlaua kolmnurgaga.) Joonistel tähistab punane ringike ühe käega paigalhoitavat, fikseeritud asendis tugijoonlauda.

(1) Rist- ja paralleelsirgete joonestamine horisontaalsele sirgele kahe joonlaua abil

Joonis 1.1. Joonlaua alumine serv on joondatud sirgele c	Ülesanne 1. Joonestada horisontaalne sirge ning sellele järjestikku kindel arv eri vahekaugustega paralleelsirged: 5 sirget vahedega 5 mm, 4 sirget vahedega 10 mm, 3 sirget vahedega 12 mm. 1. Joonestame paberile ühe horisontaalse sirge. Nimetame ta nt sirgeks c. Sirgele c ristsirge joonestamiseks asetame ristkülikjoonlaua alumise serva paralleelselt antud sirgega c. Hoiame parema käega tugijoonlauda paigal (tugijoonlaud on tähistatud punase ringikesega). (Joonis 1.1)
Joonis 1.2.1. Ristkülikjoonlaua alumise serva vastu on asetatud kolmnurkjoonlaua kaatetserv Joonis 1.2.2. Vasakule on joonestatud ristsirge ning sellele on kolmnurkjoonlaua skaalalt välja mõõdetud ja joonekestega märgitud paralleelsirgete vahekaugused	2. Vasaku käega, vastu tugijoonlaua alumist serva, asetame kolmnurkjoonlaua kaatetserva. Libistame kolmnurka vastu tugijoonlaua serva sobivasse kohta sirgel c (vasakul). (Joonis 1.2.1) Hoiame joonlaudu vasaku käe sõrmedega paigal ning parema käega joonestame ristsirge, toetudes pliiatsiga vastu kolmnurga teist kaatetserva. Ristsirge on paralleelsirgete joonestamisel lihtsalt abiks, seega võib ta tõmmata õrna kitsa joonega, mida pole vaja hiljem kustutada. Märgime ristsirgele paralleelsirgete vahekaugused lühikeste märkekriipsudega. (Joonis 1.2.2)
Joonis 1.3. Kolmnurkjoonlaud on nihutatud paremale paralleelsirgete pikkust piirava ristsirge joonestamiseks	3. Libistame kolmnurka vastu tugijoonlaua serva sirge c parempoolse otsa lähedusse, et joonestada teine ristsirge, millest saab paralleelsirgete pikkuse piiraja. See võimaldab joonestada paralleelsirged ühepikkustena. Sellega on eeltöö paralleelsirgete joonestamiseks tehtud. (Joonis 1.3) Oleme joonestanud sirgele c kaks ristsirget. Nende vahele joonestame ühepikkused paralleelsirged. Vasakpoolsele ristsirgele märkisime paralleelsirgete nõutud vahekaugused.
Joonis 1.4.1. Sirgele c on joonestatud erinevate vahekaugustega paralleelsirged Joonis 1.4.2. Üleliigsed jooneosad on kustutatud. Joonis on korrastatud	4. Joondame (läbipaistva) kolmnurkjoonlaua ühe kaatetserva paralleelselt sirgele c nii, et see kataks veidi (u 2 – 3 mm) märkekriipsudega ristsirget ja selle täisnurk jääks vasakule, tugijoonlaua poole. (Hiljem, kui hakkame kolmnurka allapoole libistama, ilmuvad märkekriipsud joonlaua alt nähtavale.) Kolmnurga teisele kaatetservale asetame tugijoonlaua ning hoiame seda paigal. Libistame kolmnurka mööda tugijoonlaua serva allapoole kuni esimese märkejooneni ja hoiame ühe käe sõrmedega joonlaudu paigal. Teise käega joonestame ristsirgete vahele esimese paralleelsirge. Libistame kolmnurga järgmise märkekriipsuni ristsirgel, kordame tegevusi, kuni kõik paralleelsirged on joonestatud. (Joonis 1.4.1) Sellist joonlaudade abil paralleelsirge joonestamise tehnikat nimetame paralleellükkeks. Korrastame joonise. Kustutame üleliigsed jooneosad (õrnad jooned kustutamist ei vaja) ning, kui vaja, joonestame paralleelsirged üle kas laia või kitsa kontrastse joonega (ikka paralleellüket kasutades). (Joonis 1.4.2)

(2) Rist- ja paralleelsirgete joonestamine kaldsirgele kahe joonlaua abil

Joonis 2.1. Kolmnurga pikim serv on joondatud sirgele a	Ülesanne 2. Joonestada kaldsirge ning sellele järjestikku kindel arv erinevate vahekaugustega paralleelsirged: 5 sirget vahedega 5 mm, 4 sirget vahedega 10 mm, 3 sirget vahedega 12 mm. 1. Joonestame paberile ühe kaldsirge. Nimetame ta sirgeks a. Alustame sirge a paralleelsirgete joonestamist sirgele ristsirge konstrueerimisest, et välja mõõta paralleelsirgete nõutud vahekaugused. Kolmnurkjoonlaua hüpotenuusserva joondame antud sirgele a. Hoiame joonlauda parema käega paigal. (Joonis 2.1)
Joonis 2.2. Kolmnurka toestab tugijoonlaud, mida hoitakse paigal (vasaku käega). Ristsirge joonestamiseks tuleb kolmnurk pöörata lühema servaga vastu tugijoonlauda	2. Vastu kolmnurkjoonlaua alumist kaatetserva asetame teise joonlaua – tugijoonlaua, et fikseerida kolmnurga asukoht. Hoiame vasaku käega tugijoonlauda paigal. (Tugijoonlauana võime kasutada kas ristkülikjoonlauda või kolmnurkjoonlauda.) Joonisel tähistab fikseeritud, paigal hoitavat, tugijoonlauda punane ringike. (Joonis 2.2)
Joonis 2.3.1. Pööratud kolmnurk ja vabalt valitud kohta vasakul on joonestatud ristsirge Joonis 2.3.2. Kolmnurk on teise ristsirge joonestamiseks nihutatud sirge a kujutisel sobivasse punkti paremal	3. Parema käega pöörame kolmnurga teise kaatetservaga vastu tugijoonlauda. (Nagu eelmisel joonisel näitab pöördekaar.) Nihutame kolmnurga teda vastu tugijoonlaua serva libistades sobivasse kohta sirge a vasakpoolse otsa läheduses. Hoiame vasaku käe sõrmedega mõlemaid joonlaudu kindlalt paigal ning parema käega pliiatsit vastu kolmnurga hüpotenuusserva hoides, joonestame sirgele a ristsirge. (Joonis 2.3.1) Paralleelsirgete pikkust piirava parempoolse ristsirge joonestamiseks libistame kolmnurka mööda tugijoonlaua serva soovitud kohani sirge kujutise teise otsa lähedusse paremal. Hoiame vasaku käe sõrmedega joonlaudu paigal ja parema käega joonestame ristsirge. Kuna mõlemad ristsirged on paralleelsirgete joonestamist abistava iseloomuga, võime need tõmmata õrna kitsa joonega (ei vaja hiljem kustutamist). Sellega on sirgel a kaks ristsirget. Järgnevalt mõõdame ühele ristsirgetest välja paralleelsirgete vahekaugused. Märgime need lühikeste märkekriipsudega. Näiteks, vasakpoolsele ristsirgele märgime vahekaugused ja parempoolne ristsirge jääb paralleelsirgete pikkuse piirajaks. (Joonis 2.3.2)
Joonis 2.4. Ühele ristsirgele on mõõdetud ja märgitud paralleelsirgete vahekaugused	4. Joonlaua skaalalt mõõdame ja märgime ühele ristsirgele nõutud paralleelsirgete vahekaugused. (Joonis 2.4)
Joonis 2.5. Sirge a paralleelsirge joonestamiseks on kolmnurk mööda tugijoonlaua serva nihutatud esimese märkejooneni	5. Paralleelsirgete joonestamiseks paigutame kolmnurga hüpotenuusserva sirgele a, toestame selle ühe (nt alumise) kaatetserva tugijoonlauaga. Hoiame tugijoonlauda vasaku käega kindlalt paigal. Libistame parema käega kolmnurka mööda tugijoonlaua serva allapoole kuni hüpotenuusserv jõuab esimese märkejooneni. Hoiame vasaku käe sõrmedega mõlemad joonlauad paigal ning joonestame parema käega ristsirgete vahele sirge a paralleelsirge. (Joonis 2.5)
Joonis 2.6. Märkekriipsudest on joonestatud võrdsete pikkustega sirge a paralleelsirged	6. Kordame eelmist tegevust, st nihutame joonlaua järgmise märkekriipsuni ja joonestame paralleelsirge. Jätkame tegevust, kuni kõik soovitud paralleelsirged on joonestatud. (Joonis 2.6)
Joonis 2.7. Korrastatud joonis	7. Korrastame joonise. (Joonis 2.7)

(3) Ristsirge joonestamine antud punktist sirkli ja joonlaua abil

Uuri postituse „Nurk. Konstruktsioonid sirkli ja joonlauaga“ alajaotust

90° nurga konstrueerimine sirkli ja joonlaua abil ning selle näiteid:

(4) Paralleelsirge joonestamine antud punktist sirkli ja joonlaua abil

Joonis 4.A. Punktist P vabalt valitud sihis joonestatud abisirge lõikub antud sirgega punktis Q	Ülesanne 4. Antud sirgel on kaks punkti – R ja S. Antud punkt P ei kuulu sirgele. Tuletada antud sirgega paralleelne sirge, mis läbib punkti P. A. Joonestame vabalt valitud sihiga abisirge läbi punkti P lõikuma antud sirgega. Tähistame sirgete lõikepunkti punktiga Q.
Joonis 4.B. Punktidest Q ja P on joonestatud kaared vabalt valitud raadiusega R₁	B. Joonestame punktist Q vabalt valitud raadiusega R₁ kaare. Abisirge ja kaare lõikepunkti tähistame punktiga 1. Sama raadiusega R₁ joonestame kaare ka punktist P. Abisirge ja kaare lõikepunkti tähistame punktiga 2. Tähelepanu! Hea, kui R₁ pikkus on vähemalt kolmandik QP pikkusest. Mida kaugemal punktist P asub paralleelsirget määrav teine punkt (L ), seda graafiliselt täpsem on lahendus. (Vt joonis 4.C)
Joonis 4.C. Punktidest 1 ja 2 on joonestatud kaared raadiusega R₂	C. Võtame sirklisse kõõlu punktist 1 kuni kaare R₁ lõikepunktini antud sirgel (RS ) – see on raadius R₂. (Joonestame punktist 1 kaare välja, et kontrollida, kas kaar läbib lõikepunkti sirgel täpselt.) Joonestame raadiusega R₂ kaare punktist 2 ja tähistame kaarte lõikepunkti tähisega L. Punktid P ja L määravad antud sirge (RS ) paralleelsirge.
Joonis 4.D. Antud sirgele RS on joonestatud paralleelsirge läbi punkti P	D. Ühendame punktid P ja L. PL ∥ RS Lahenduse õigsust kontrollime paralleellükkega.

(5) Paralleelsirge joonestamine antud punktist kolmnurga meetodil sirkli ja joonlaua abil

Joonis 5.A. Antud sirgel vabalt valitud punktid 1 ja 2 on ühendatud punktiga P. Sirgele (vabalt valitud asukohta) on märgitud punkt 1′	Ülesanne 5. On antud sirge ning punkt P, mis ei kuulu sirgele. Tuletada antud sirgega paralleelne sirge läbi punkti P. A. Märgime antud sirgel vabalt kaks punkti 1 ja 2. Ühendame need punktid antud punktiga P. Tekib kolmnurk 1P2 . Märgime sirgele vabalt valitud kohta (sirge kujutise teise otsa lähedusse) punkti 1′.
Joonis 5.B. Punkti 2′ asukoha tuletamine lõigu 12 pikkuse üle kandmisega punktist 1′	B. Konstrueerime punktist 1′ kolmnurgaga 1P2 sarnase kolmnurga 1’P’2′. Selleks võtame sirklisse lõigu 12 (raadius R₁) ning joonestame kaare punktist 1′. Tuletasime antud sirgel punkti 2‘.
Joonis 5.C. Kolmnurga külgede pikkuste 1P ja 2P üle kandmine vastavalt punktidest 1′ ja 2′. Kaarte lõikepunkt R asub antud sirgest sama kaugel kui punkt P	C. Võtame sirklisse lõigu 1P ja joonestame sellega kaare punktist 1′ . Järgmisena joonestame kaare raadiusega 2P punktist 2′ . Kaarte lõikepunkt R ja punkt P määravad antud sirge paralleelsirge.
Joonis 5.D. Antud sirgele on joonestatud paralleelsirge läbi punkti P	D. Ühendame punktid PR sirgega. PR ∥ 12’ Lahenduse õigsust kontrollime paralleellükkega.

(6) Paralleelsirge joonestamine antud punktist rombi meetodil sirkli ja joonlaua abil

Joonis 6.A. Sirget lõikav vabalt valitud raadiusega kaar	Ülesanne 6. On antud sirge, millele kuuluvad punktid R ja S. Antud punkt P ei kuulu sirgele. Tuletada läbi punkti P antud sirgega RS paralleelne sirge. A. Joonestame vabalt valitud raadiusega R₁ kaare lõikuma antud sirgega. Tähistame kaare ja sirge vasakpoolse lõikepunkti tähisega Q.
Joonis 6.B. Sama raadiusega kaar punktist Q lõikub antud sirgega punktis E	B. Joonestame sama raadiusega R₁ kaare punktist Q lõikuma antud sirgega. Tähistame punktist Q paremal kaare ja sirge lõikepunkti tähisega E.
Joonis 6.C. Sama raadiusega kaar punktist E märgib punktist P joonestatud kaarel lõikepunkti T. P ja T kuuluvad paralleelsirgele	C. Joonestame sama raadiusega R₁ kaare punktist E lõikuma punktist P joonestatud kaarega. Tähistame kaarte lõikepunkti tähisega T. Punkt T ja P määravad antud sirge paralleelsirge.
Joonis 6.D. Sirge RS paralleelsirge PT	D. Ühendame punktid P ja T sirgega. PT ∥ RS Lahenduse õigsust kontrollime paralleellükkega.

Harjutamiseks

(1) Joonesta paberile üks horisontaalne ja üks kaldsirge ning joonesta neile kahe joonlaua abil 7 paralleelsirget:

horisontaalsirgele vahekaugustega 9 mm,
kaldsirgele vahekaugustega 12 mm.

Võid joonestada ka mingite teiste, vabalt valitud ühepikkuste ja/või muutuvate vahekaugustega.

Proovi paralleelsirgeid joonestada ka vertikaalsirgele. Nuputa, kuidas sel juhul joonlaudu asetada.

Kontrolli valminud tööd. Seda saab teha arvutades.
Kui kaugel antud sirgest peab asuma viimane paralleelsirge?
Vastuse saamiseks tuleb kokku liita kõigi paralleelsirgete vahekaugused.

Ülesannete 1 ja 2 näitel on viimase paralleelsirge kaugus antud sirgest arvutatav järgmiselt:

5 × 5 mm + 4 × 10 mm + 3 × 12 mm.

Tähelepanu! Mõõda oma lahendus üle. Kui vastus ei ole õige, tuleb teha parandus.
Lahendusvea põhjus on sageli tehniline.
Oluline on joon tõmmata just pliiatsigrafiidi teravama küljega. See külg tuleb asetada nt märkekriipsule ja tõmmata joon, pliiatsit tegevuse käigus pööramata. Praktikas ei kulu grafiit ühtlaselt, sest hoiame pliiatsit paberi suhtes pisut kaldu. Nii kulubki grafiitsüdamiku üks külg teravamaks. Tööd tehes, iga järgmise joone tõmbamise eel tuleb pliiatsit pöörata, et joone tõmbaks grafiidi teravam külg. Või aeg-ajalt pliiatsit pliiatsiteritajas teritada. Või teritamiseks hõõruda grafiiti kas liivapaberil või mustandpaberil.

(2) Joonesta paberile üks punkt ja üks sirge, mis seda punkti ei läbi. Edasi joonesta sirkli ja joonlaua abil läbi antud punkti antud sirgele paralleelsirge.

Hea, kui teed iga näite kohta läbi vähemalt ühe ülesande. Veel parem, kui ülesannete teistkordsel läbilahendamisel muudad nende algandmeid ja paralleelsirgete vahekaugusi.

Vaata lisaks

[1] Joonestamine. Õpilase raamat (Tehnotiiger)